Unity上常用的基本向量計算 (Vector)

甚麼是Vector（向量）？簡單來說就是幾個代表了各自維度的數字的組合，例如2D世界的Vector就是(x,y)兩個數字，3D世界的Vector就是(x,y,z)。不過比起這些數字上組合，數學上對待Vector比較重視其magnitude（模）和direction（方向）這兩個特點的組合。

在一個遊戲世界的coordinates中，一個遊戲物件通常會有位置和方位，而這兩個要素都可以分別用Vector表達。在Unity中寫程式時，假如是2D遊戲的話，就用Vector2這個datatype來表達，3D遊戲則是用Vector3。雖然位置看起來似乎並不是一個向量（因為它不是方向），但你可以想像它是由原點(0,0,0)指著遊戲物件所在的位置，而Unity為了方便計算所以統一把位置和方向都用Vector來表達，然後提供了許多方便你做Vector計算的函數庫。不過要留意之後在做Matrix Transformation的時候，對於位置Vector和方向Vector的處理方式會不太一樣。

Magnitude （模）

Vector的magnitude其實就是它的長度。要計算兩個物件之間的直線距離的話，就要相減它們的位置（先後次序無所謂），得出一個Vector（代表從其中一個物件指向另外一個物件），再計算這個Vector的magnitude。

Vector V的magnitude的計算方法： |V| = sqrt(Vx^2 + Vy^2 + Vz^2)  （如果是2D就不用加Vz^2，之後的公式也是）

其實這個公式就是來自勾股定理（Pythagorean theorem），也能看得出Magnitude不會有負數。

Unit Vector/Normalized Vector （單位向量）

Unit vector(又叫Normalized vector)是指magnitude只有1的vector，可以說這個unit vector只有direction而沒有magnitude。只要把一個Vector內的每個值除以它的magnitude，就能得到Unit vector了，這個過程叫做Normalization（歸一化）。Unit vector是其中一種表達物件方向的方法（尤其在3D世界內難以用角度來表達方向）。

要判斷一個vector是否unit vector，最快的方法是看其和自己的dot product是否1（下面會詳細講解）。

Dot Product （點積）

Dot product的計算方法： A．B = AxBx + AyBy + AzBz
可以看得出兩個Vector的Dot product只是一個數而非Vector。

一個常用的角度公式：
A．B = |A| |B| cos (A和B的夾角)

Dot product的常見用途：

計算投影

一個Vector A和一個Unit Vector B的Dot product代表了A在B這個方向上的投影的長度。

另外，一個Unit vector和自己的dot product是1（可以想像兩個一模一樣的vector出來的投影肯定也和自己一樣），因此要判斷一個vector是否unit vector最快的方法是計算dot product是否1（而非使用浪費時間的sqrt來計算vector的magnitude）。

比較方向

如果兩個Vector的Dot product大於0，代表這兩個Vector間的角度小於90度（我稱為指著大致相同方向）。
如果等於0，代表兩個Vector互相垂直。
如果小於0，代表兩個Vector的角度大於90度（我稱之為相反方向）。

判斷視線範圍

在很多遊戲中，一個怪物會有牠的視線範圍，當你步入了這個範圍中牠就會攻擊你。一個常用的視線範圍判定方法是：以怪物面向的方向為一個Vector（這個Vector的長度代表了怪物能觀察的距離），然後設定觀察角度（即怪物只能看到Vector左邊角度除以2和右邊角度除以2內的物件）。

那麼要如何判定玩家是否在怪物的視線範圍內？條件為以下兩項同時符合：

• 觀察距離：玩家和怪物間的距離 <= 怪物面向Vector的magnitude
• 觀察角度：怪物指著玩家的Vector 與 怪物面向Vector間的夾角 <= 觀察角度/2

如何計算上述提到的夾角？可以利用上面提到過的角度公式：

設「怪物指著玩家的Vector」為A，「怪物面向Vector」為B

（留意A的magnitude其實就是玩家和怪物間的距離）

A．B = |A| |B| cos (A和B間的夾角)

夾角 = arccos (  (A．B) / (|A| |B|)   )

另外要注意，怪物指著玩家的Vector是 玩家的位置 - 怪物的位置 （而非相反）
（如果你覺得很容易搞混相減的次序，試想想從怪物指著玩家，即是怪物是原點，這樣就知道是要玩家減怪物了）

Cross Product （叉積）

兩個Vector的Cross product是一個新的Vector，而非像dot product般只是一個數。

Cross product的計算方法：A X B = (AyBz - AzBy, AzBx - AxBz, AxBy - AyBx)
（尤其注意y點是先z後x，而非先x後z）

另外，A X B = -(B X A)
（從公式就能看得出，因為減法次序的改變，所以A X B和B X A的關係是正負相反）

一個常用的角度公式：
|A X B| = |A| |B| sin (A和B的夾角)

Cross product的用途：

3D遊戲：計算垂直Vector

在3D遊戲的情況下，A X B得出來的Vector會同時和A和B垂直（若A和B平行的話會得出0,0,0）。
能和A和B同時垂直的方向有兩邊，那麼怎麼知道這個Vector是指著哪邊？
Unity內的Scene View用的是Left-hand rule，在Left-hand rule下A是拇指、B是食指的話，A X B就是中指指著的方向。

若你想要的是相反方向的垂直Vector，使用B X A計算或者直接用-(A X B)即可。

假如我們需要知道3D世界內一個三角形的平面對著哪個方向，可以用三角形的三個邊的其中兩個作為Vector，便能計算出與這個平面垂直的Vector。

2D遊戲：計算面積

在2D世界的情況下，A X B得出來的Vector的magnitude是A和B形成的平行四邊形的面積，除以二的話就是三角形的面積。